Để chứng minh công thức PMT = (PV * i) / (1 - (1 + i)^-n), chúng ta sẽ sử dụng khái niệm giá trị hiện tại (present value) của một dòng tiền trong tương lai.
1. Giá trị hiện tại của một khoản thanh toán trong tương lai:
Giá trị hiện tại (PV) của một khoản thanh toán F nhận được sau n kỳ hạn với lãi suất i mỗi kỳ được tính như sau:
PV = F / (1 + i)^n
Công thức này cho biết số tiền F nhận được trong tương lai có giá trị tương đương với bao nhiêu tiền ở hiện tại, nếu chúng ta chiết khấu với lãi suất i.
2. Giá trị hiện tại của một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau:
Giả sử chúng ta có một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau PMT, được thực hiện vào cuối mỗi kỳ trong vòng n kỳ hạn. Giá trị hiện tại của chuỗi các khoản thanh toán này (PV) sẽ là tổng giá trị hiện tại của từng khoản thanh toán:
PV = PMT / (1 + i) + PMT / (1 + i)^2 + … + PMT / (1 + i)^n
3. Rút gọn biểu thức:
Để rút gọn biểu thức trên, chúng ta có thể nhân cả hai vế với (1 + i)^-n:
PV * (1 + i)^-n = PMT * (1 + i)^-(n-1) + PMT * (1 + i)^-(n-2) + … + PMT * (1 + i)^-1 + PMT
Tiếp theo, chúng ta trừ hai vế cho PV:
PV * (1 + i)^-n - PV = PMT * [(1 + i)^-(n-1) + (1 + i)^-(n-2) + … + (1 + i)^-1 + 1 - (1 + i)^-n]
Rút gọn vế trái và áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân cho vế phải, ta được:
PV * [(1 + i)^-n - 1] = PMT * [(1 - (1 + i)^-n) / i]
Cuối cùng, chúng ta giải phương trình cho PMT:
PMT = (PV * i) / (1 - (1 + i)^-n)
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được công thức tính PMT trong lãi kép. Công thức này cho phép chúng ta tính toán số tiền phải trả góp định kỳ cho một khoản vay hoặc đầu tư, dựa trên giá trị hiện tại, lãi suất và số kỳ hạn.